Rozwiąż {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$8x+2y=46$$

Odejmij 2y od obu stron równania.

$$8x=-2y+46$$

Podziel obie strony przez 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Pomnóż \frac{1}{8} przez -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Podstaw \frac{-y+23}{4} do x w drugim równaniu: 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Pomnóż 7 przez \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Dodaj -\frac{7y}{4} do 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Odejmij \frac{161}{4} od obu stron równania.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{5}{4}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=\frac{27}{5}$$

Podstaw \frac{27}{5} do y w równaniu x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Pomnóż -\frac{1}{4} przez \frac{27}{5}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Dodaj \frac{23}{4} do -\frac{27}{20}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{22}{5}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Aby czynniki 8x i 7x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 7 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Uprość.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Odejmij 56x+24y=376 od 56x+14y=322, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Dodaj 56x do -56x. Czynniki 56x i -56x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$14y-24y=322-376$$

Dodaj 14y do -24y.

$$-10y=322-376$$

Dodaj 322 do -376.

$$-10y=-54$$

Podziel obie strony przez -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Podstaw \frac{27}{5} do y w równaniu 7x+3y=47. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Pomnóż 3 przez \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Odejmij \frac{81}{5} od obu stron równania.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Podziel obie strony przez 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$