Rozwiąż y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

Rozwiąż względem y

$$y=6$$

$$y=36$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż y^{2}-42y+216 na czynniki przy użyciu formuły y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-42 ab=216$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -42.

$$a=-36 b=-6$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(y+a\right)\left(y+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: y-36=0 i y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: y^{2}+ay+by+216. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -42.

$$a=-36 b=-6$$

Przepisz y^{2}-42y+216 jako \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right).

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

y w pierwszej i -6 w drugiej grupie.

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik y-36, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: y-36=0 i y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$y^{2}-42y+216=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -42 do b i 216 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -42.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

Pomnóż -4 przez 216.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

Dodaj 1764 do -864.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 900.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

Liczba przeciwna do -42 to 42.

$$y=\frac{42±30}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{42±30}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 42 do 30.

$$y=\frac{72}{2}$$

Podziel 72 przez 2.

$$y=36$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{42±30}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 30 od 42.

$$y=\frac{12}{2}$$

Podziel 12 przez 2.

$$y=6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$y=36 y=6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Odejmij 216 od obu stron równania.

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

Odjęcie 216 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$y^{2}-42y=-216$$

Podziel -42, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -21. Następnie Dodaj kwadrat -21 do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -21.

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

Dodaj -216 do 441.

$$y^{2}-42y+441=225$$

Współczynnik y^{2}-42y+441. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Uprość.

$$y-21=15 y-21=-15$$

Dodaj 21 do obu stron równania.

$$y=36 y=6$$