Rozwiąż y=5x-43text{and}3x+5y=9

$$y = 5 x - 43 \text { and } 3 x + 5 y = 9$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=8$$

$$y=-3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 5x od obu stron.

$$y-5x=-43$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-5x=-43$$

Dodaj 5x do obu stron równania.

$$y=5x-43$$

Podstaw 5x-43 do y w drugim równaniu: 5y+3x=9.

$$5\left(5x-43\right)+3x=9$$

Pomnóż 5 przez 5x-43.

$$25x-215+3x=9$$

Dodaj 25x do 3x.

$$28x-215=9$$

Dodaj 215 do obu stron równania.

$$28x=224$$

Podziel obie strony przez 28.

$$x=8$$

Podstaw 8 do x w równaniu y=5x-43. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=5\times 8-43$$

Pomnóż 5 przez 8.

$$y=40-43$$

Dodaj -43 do 40.

$$y=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-3,x=8$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 5x od obu stron.

$$y-5x=-43$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}&\frac{5}{28}\\-\frac{5}{28}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}\left(-43\right)+\frac{5}{28}\times 9\\-\frac{5}{28}\left(-43\right)+\frac{1}{28}\times 9\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=-3,x=8$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 5x od obu stron.

$$y-5x=-43$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Aby czynniki y i 5y były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 5 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$5y+5\left(-5\right)x=5\left(-43\right),5y+3x=9$$

Uprość.

$$5y-25x=-215,5y+3x=9$$

Odejmij 5y+3x=9 od 5y-25x=-215, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$5y-5y-25x-3x=-215-9$$

Dodaj 5y do -5y. Czynniki 5y i -5y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-25x-3x=-215-9$$

Dodaj -25x do -3x.

$$-28x=-215-9$$

Dodaj -215 do -9.

$$-28x=-224$$

Podziel obie strony przez -28.

$$x=8$$

Podstaw 8 do x w równaniu 5y+3x=9. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$5y+3\times 8=9$$

Pomnóż 3 przez 8.

$$5y+24=9$$

Odejmij 24 od obu stron równania.

$$5y=-15$$

Podziel obie strony przez 5.

$$y=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-3,x=8$$