Rozwiąż y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=-1$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-2x=-1$$

Dodaj 2x do obu stron równania.

$$y=2x-1$$

Podstaw 2x-1 do y w drugim równaniu: y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Dodaj 2x do 2x.

$$4x-1=3$$

Dodaj 1 do obu stron równania.

$$4x=4$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=1$$

Podstaw 1 do x w równaniu y=2x-1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=2-1$$

Dodaj -1 do 2.

$$y=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=1,x=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=-1$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=1,x=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=-1$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Odejmij y+2x=3 od y-2x=-1, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-2x-2x=-1-3$$

Dodaj -2x do -2x.

$$-4x=-1-3$$

Dodaj -1 do -3.

$$-4x=-4$$

Podziel obie strony przez -4.

$$x=1$$

Podstaw 1 do x w równaniu y+2x=3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y+2=3$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$y=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=1,x=1$$