Rozwiąż y=2x/5text{y}5x+y+5=0

$$y = 2 x / 5 \text { y } 5 x + y + 5 = 0$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=-\frac{25}{27}\approx -0,925925926$$

$$y=-\frac{10}{27}\approx -0,37037037$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{2x}{5} od obu stron.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Pomnóż obie strony równania przez 5.

$$5y-2x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 5 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$5x+y=-5$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$5y-2x=0$$

Dodaj 2x do obu stron równania.

$$5y=2x$$

Podziel obie strony przez 5.

$$y=\frac{1}{5}\times 2x$$

Pomnóż \frac{1}{5} przez 2x.

$$y=\frac{2}{5}x$$

Podstaw \frac{2x}{5} do y w drugim równaniu: y+5x=-5.

$$\frac{2}{5}x+5x=-5$$

Dodaj \frac{2x}{5} do 5x.

$$\frac{27}{5}x=-5$$

Podziel obie strony równania przez \frac{27}{5}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$x=-\frac{25}{27}$$

Podstaw -\frac{25}{27} do x w równaniu y=\frac{2}{5}x. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=\frac{2}{5}\left(-\frac{25}{27}\right)$$

Pomnóż \frac{2}{5} przez -\frac{25}{27}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$y=-\frac{10}{27}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{2x}{5} od obu stron.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Pomnóż obie strony równania przez 5.

$$5y-2x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 5 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$5x+y=-5$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{2}{27}\\-\frac{1}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-5\right)\\\frac{5}{27}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{27}\\-\frac{25}{27}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{2x}{5} od obu stron.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Pomnóż obie strony równania przez 5.

$$5y-2x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 5 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$5x+y=-5$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Aby czynniki 5y i y były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 5.

$$5y-2x=0,5y+5\times 5x=5\left(-5\right)$$

Uprość.

$$5y-2x=0,5y+25x=-25$$

Odejmij 5y+25x=-25 od 5y-2x=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$5y-5y-2x-25x=25$$

Dodaj 5y do -5y. Czynniki 5y i -5y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-2x-25x=25$$

Dodaj -2x do -25x.

$$-27x=25$$

Podziel obie strony przez -27.

$$x=-\frac{25}{27}$$

Podstaw -\frac{25}{27} do x w równaniu y+5x=-5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y+5\left(-\frac{25}{27}\right)=-5$$

Pomnóż 5 przez -\frac{25}{27}.

$$y-\frac{125}{27}=-5$$

Dodaj \frac{125}{27} do obu stron równania.

$$y=-\frac{10}{27}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$