Rozwiąż y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=1$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-2x=1$$

Dodaj 2x do obu stron równania.

$$y=2x+1$$

Podstaw 2x+1 do y w drugim równaniu: y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Dodaj 2x do x.

$$3x+1=7$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$3x=6$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=2$$

Podstaw 2 do x w równaniu y=2x+1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=2\times 2+1$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$y=4+1$$

Dodaj 1 do 4.

$$y=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=5,x=2$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=1$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=5,x=2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=1$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Odejmij y+x=7 od y-2x=1, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-2x-x=1-7$$

Dodaj -2x do -x.

$$-3x=1-7$$

Dodaj 1 do -7.

$$-3x=-6$$

Podziel obie strony przez -3.

$$x=2$$

Podstaw 2 do x w równaniu y+x=7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y+2=7$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$y=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=5,x=2$$