Rozwiąż y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{4}{3}x od obu stron.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=8$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Dodaj \frac{4x}{3} do obu stron równania.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Podstaw \frac{-28+4x}{3} do y w drugim równaniu: y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Dodaj \frac{4x}{3} do -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Dodaj \frac{28}{3} do obu stron równania.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{2}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$x=-26$$

Podstaw -26 do x w równaniu y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Pomnóż \frac{4}{3} przez -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Dodaj -\frac{28}{3} do -\frac{104}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$y=-44$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-44,x=-26$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{4}{3}x od obu stron.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=8$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=-44,x=-26$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{4}{3}x od obu stron.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=8$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Odejmij y-2x=8 od y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Dodaj -\frac{4x}{3} do 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Dodaj -\frac{28}{3} do -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{2}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$x=-26$$

Podstaw -26 do x w równaniu y-2x=8. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Pomnóż -2 przez -26.

$$y+52=8$$

Odejmij 52 od obu stron równania.

$$y=-44$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-44,x=-26$$