Rozwiąż y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{1}{3}x od obu stron.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 3x do obu stron.

$$y+3x=60$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Dodaj \frac{x}{3} do obu stron równania.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Podstaw \frac{x}{3} do y w drugim równaniu: y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Dodaj \frac{x}{3} do 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Podziel obie strony równania przez \frac{10}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$x=18$$

Podstaw 18 do x w równaniu y=\frac{1}{3}x. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez 18.

$$y=6$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=6,x=18$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{1}{3}x od obu stron.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 3x do obu stron.

$$y+3x=60$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=6,x=18$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij \frac{1}{3}x od obu stron.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 3x do obu stron.

$$y+3x=60$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Odejmij y+3x=60 od y-\frac{1}{3}x=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Dodaj -\frac{x}{3} do -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{10}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$x=18$$

Podstaw 18 do x w równaniu y+3x=60. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y+3\times 18=60$$

Pomnóż 3 przez 18.

$$y+54=60$$

Odejmij 54 od obu stron równania.

$$y=6$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=6,x=18$$