Rozwiąż x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$x-y=5$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$x=y+5$$

Podstaw y+5 do x w drugim równaniu: -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Pomnóż -4 przez y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Dodaj -4y do 5y.

$$y-20=7$$

Dodaj 20 do obu stron równania.

$$y=27$$

Podstaw 27 do y w równaniu x=y+5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=27+5$$

Dodaj 5 do 27.

$$x=32$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=32,y=27$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=32,y=27$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Aby czynniki x i -4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Uprość.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Odejmij -4x+5y=7 od -4x+4y=-20, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Dodaj -4x do 4x. Czynniki -4x i 4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$4y-5y=-20-7$$

Dodaj 4y do -5y.

$$-y=-20-7$$

Dodaj -20 do -7.

$$-y=-27$$

Podziel obie strony przez -1.

$$y=27$$

Podstaw 27 do y w równaniu -4x+5y=7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-4x+5\times 27=7$$

Pomnóż 5 przez 27.

$$-4x+135=7$$

Odejmij 135 od obu stron równania.

$$-4x=-128$$

Podziel obie strony przez -4.

$$x=32$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=32,y=27$$