Rozwiąż x^4-x^2-12

$$x ^ { 4 } - x ^ { 2 } - 12$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$x^{4}-x^{2}-12=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -12, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{4}-x^{2}-12 przez x-2, aby uzyskać x^{3}+2x^{2}+3x+6. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$x^{3}+2x^{2}+3x+6=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 6, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{3}+2x^{2}+3x+6 przez x+2, aby uzyskać x^{2}+3. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$x^{2}+3=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 0 do b i 3 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

x^{2}+3 wielomianowy nie jest przyczynnika, ponieważ nie ma żadnych wymiernych katalogów głównych.

$$x^{2}+3$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

Oblicz

$$x^{4}-x^{2}-12$$