Rozwiąż x^4-2x^2+1

$$x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 1$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$x^{4}-2x^{2}+1=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 1, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=1$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{4}-2x^{2}+1 przez x-1, aby uzyskać x^{3}+x^{2}-x-1. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$x^{3}+x^{2}-x-1=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -1, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=1$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{3}+x^{2}-x-1 przez x-1, aby uzyskać x^{2}+2x+1. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$x^{2}+2x+1=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 2 do b i 1 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{-2±0}{2}$$

Rozwiązania są takie same.

$$x=-1$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Oblicz

$$\left(x^{2}-1\right)^{2}$$