Rozwiąż x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

Rozwiąż względem x

$$x=-6$$

$$x=7$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Odejmij 42 od obu stron.

$$x^{2}-x-42=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-x-42 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=-42$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-7 b=6$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 42 od obu stron.

$$x^{2}-x-42=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-42. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-7 b=6$$

Przepisz x^{2}-x-42 jako \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

x w pierwszej i 6 w drugiej grupie.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-x=42$$

Odejmij 42 od obu stron równania.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

Odjęcie 42 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-x-42=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -1 do b i -42 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -42.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

Dodaj 1 do 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±13}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 13.

$$x=\frac{14}{2}$$

Podziel 14 przez 2.

$$x=7$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±13}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 13 od 1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Podziel -12 przez 2.

$$x=-6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=7 x=-6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x=42$$

Podziel -1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Dodaj 42 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Współczynnik x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$x=7 x=-6$$