Rozwiąż x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-7x-30 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -7.

$$a=-10 b=3$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-10=0 i x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-30. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -7.

$$a=-10 b=3$$

Przepisz x^{2}-7x-30 jako \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Wyłącz przed nawias x w pierwszej grupie i 3 w drugiej grupie.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-10, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-10=0 i x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-7x-30=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -7 do b i -30 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Dodaj 49 do 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Liczba przeciwna do -7 to 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{7±13}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 7 do 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Podziel 20 przez 2.

$$x=10$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{7±13}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 13 od 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Podziel -6 przez 2.

$$x=-3$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=10 x=-3$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Dodaj 30 do obu stron równania.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Odjęcie -30 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Odejmij -30 od 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Podziel -7, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{7}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{7}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{7}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Dodaj 30 do \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodaj \frac{7}{2} do obu stron równania.

$$x=10 x=-3$$