Rozwiąż x^2-3x-180=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-12$$

$$x=15$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-3x-180 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -3.

$$a=-15 b=12$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-15=0 i x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-180. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -3.

$$a=-15 b=12$$

Przepisz x^{2}-3x-180 jako \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Wyłącz przed nawias x w pierwszej grupie i 12 w drugiej grupie.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-15, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-15=0 i x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-3x-180=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -3 do b i -180 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Dodaj 9 do 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

Liczba przeciwna do -3 to 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{3±27}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 3 do 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

Podziel 30 przez 2.

$$x=15$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{3±27}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 27 od 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Podziel -24 przez 2.

$$x=-12$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=15 x=-12$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Dodaj 180 do obu stron równania.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Odjęcie -180 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

Odejmij -180 od 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Podziel -3, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{3}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{3}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{3}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Dodaj 180 do \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Dodaj \frac{3}{2} do obu stron równania.

$$x=15 x=-12$$