Rozwiąż x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=6$$

$$x=7$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-13x+42 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-13 ab=42$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -13.

$$a=-7 b=-6$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+42. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -13.

$$a=-7 b=-6$$

Przepisz x^{2}-13x+42 jako \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Wyłącz przed nawias x w pierwszej grupie i -6 w drugiej grupie.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-13x+42=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -13 do b i 42 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Pomnóż -4 przez 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Dodaj 169 do -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Liczba przeciwna do -13 to 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{13±1}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 13 do 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Podziel 14 przez 2.

$$x=7$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{13±1}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 1 od 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Podziel 12 przez 2.

$$x=6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=7 x=6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Odejmij 42 od obu stron równania.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Odjęcie 42 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Podziel -13, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{13}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{13}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{13}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Dodaj -42 do \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Dodaj \frac{13}{2} do obu stron równania.

$$x=7 x=6$$