Rozwiąż x^2-13x+22=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 22 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=2$$

$$x=11$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-13x+22 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-13 ab=22$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 22.

$$-1,-22 -2,-11$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-22=-23 -2-11=-13$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -13.

$$a=-11 b=-2$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-11\right)\left(x-2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-11=0 i x-2=0.

$$x=11 x=2$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+22. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-13 ab=1\times 22=22$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 22.

$$-1,-22 -2,-11$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-22=-23 -2-11=-13$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -13.

$$a=-11 b=-2$$

Przepisz x^{2}-13x+22 jako \left(x^{2}-11x\right)+\left(-2x+22\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(-2x+22\right)$$

x w pierwszej i -2 w drugiej grupie.

$$x\left(x-11\right)-2\left(x-11\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-11, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-11\right)\left(x-2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-11=0 i x-2=0.

$$x=11 x=2$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-13x+22=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -13 do b i 22 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 22}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 22}}{2}$$

Pomnóż -4 przez 22.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-88}}{2}$$

Dodaj 169 do -88.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 81.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±9}{2}$$

Liczba przeciwna do -13 to 13.

$$x=\frac{13±9}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{13±9}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 13 do 9.

$$x=\frac{22}{2}$$

Podziel 22 przez 2.

$$x=11$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{13±9}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 9 od 13.

$$x=\frac{4}{2}$$

Podziel 4 przez 2.

$$x=2$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=11 x=2$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+22=0$$

Odejmij 22 od obu stron równania.

$$x^{2}-13x+22-22=-22$$

Odjęcie 22 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-13x=-22$$

Podziel -13, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{13}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{13}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{13}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-22+\frac{169}{4}$$

Dodaj -22 do \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{81}{4}$$

Współczynnik x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dodaj \frac{13}{2} do obu stron równania.

$$x=11 x=2$$