Rozwiąż x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}+x-42 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=-42$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-6 b=7$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-6=0 i x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-42. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-6 b=7$$

Przepisz x^{2}+x-42 jako \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-6, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-6=0 i x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}+x-42=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, 1 do b i -42 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Dodaj 1 do 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±13}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Podziel 12 przez 2.

$$x=6$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±13}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 13 od -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Podziel -14 przez 2.

$$x=-7$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=6 x=-7$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-42=0$$

Dodaj 42 do obu stron równania.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Odjęcie -42 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

Odejmij -42 od 0.

$$x^{2}+x=42$$

Podziel 1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Dodaj 42 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Współczynnik x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$x=6 x=-7$$