Rozwiąż x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}+31x-360 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=31 ab=-360$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 31.

$$a=-9 b=40$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-9=0 i x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-360. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 31.

$$a=-9 b=40$$

Przepisz x^{2}+31x-360 jako \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Wyłącz przed nawias x w pierwszej grupie i 40 w drugiej grupie.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-9, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-9=0 i x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}+31x-360=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, 31 do b i -360 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Dodaj 961 do 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-31±49}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -31 do 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Podziel 18 przez 2.

$$x=9$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-31±49}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 49 od -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Podziel -80 przez 2.

$$x=-40$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=9 x=-40$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Dodaj 360 do obu stron równania.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Odjęcie -360 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Odejmij -360 od 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Podziel 31, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać \frac{31}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby \frac{31}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{31}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Dodaj 360 do \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Odejmij \frac{31}{2} od obu stron równania.

$$x=9 x=-40$$