Rozwiąż x:y=15:13text{e}x-y=8

$$x : y = 15 : 13 \text { e } x - y = 8$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=60$$

$$y=52$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna y nie może być równa 0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 13y (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości y,13).

$$13x=15y$$

Podziel obie strony przez 13.

$$x=\frac{1}{13}\times 15y$$

Pomnóż \frac{1}{13} przez 15y.

$$x=\frac{15}{13}y$$

Podstaw \frac{15y}{13} do x w drugim równaniu: x-y=8.

$$\frac{15}{13}y-y=8$$

Dodaj \frac{15y}{13} do -y.

$$\frac{2}{13}y=8$$

Podziel obie strony równania przez \frac{2}{13}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=52$$

Podstaw 52 do y w równaniu x=\frac{15}{13}y. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{15}{13}\times 52$$

Pomnóż \frac{15}{13} przez 52.

$$x=60$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=60,y=52$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna y nie może być równa 0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 13y (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości y,13).

$$13x=15y$$

Odejmij 15y od obu stron.

$$13x-15y=0$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&\frac{13}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{15}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{13}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\times 8\\\frac{13}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\52\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=60,y=52$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna y nie może być równa 0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 13y (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości y,13).

$$13x=15y$$

Odejmij 15y od obu stron.

$$13x-15y=0$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

Aby czynniki 13x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 13.

$$13x-15y=0,13x+13\left(-1\right)y=13\times 8$$

Uprość.

$$13x-15y=0,13x-13y=104$$

Odejmij 13x-13y=104 od 13x-15y=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$13x-13x-15y+13y=-104$$

Dodaj 13x do -13x. Czynniki 13x i -13x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-15y+13y=-104$$

Dodaj -15y do 13y.

$$-2y=-104$$

Podziel obie strony przez -2.

$$y=52$$

Podstaw 52 do y w równaniu x-y=8. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-52=8$$

Dodaj 52 do obu stron równania.

$$x=60$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=60,y=52$$