Rozwiąż x+y=8text{and}3x+2y=21

$$x + y = 8 \text { and } 3 x + 2 y = 21$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+y=8,3x+2y=21$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$x+y=8$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$x=-y+8$$

Podstaw -y+8 do x w drugim równaniu: 3x+2y=21.

$$3\left(-y+8\right)+2y=21$$

Pomnóż 3 przez -y+8.

$$-3y+24+2y=21$$

Dodaj -3y do 2y.

$$-y+24=21$$

Odejmij 24 od obu stron równania.

$$-y=-3$$

Podziel obie strony przez -1.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x=-y+8. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-3+8$$

Dodaj 8 do -3.

$$x=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+y=8,3x+2y=21$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 8+21\\3\times 8-21\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=5,y=3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+y=8,3x+2y=21$$

Aby czynniki x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$3x+3y=3\times 8,3x+2y=21$$

Uprość.

$$3x+3y=24,3x+2y=21$$

Odejmij 3x+2y=21 od 3x+3y=24, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3x-3x+3y-2y=24-21$$

Dodaj 3x do -3x. Czynniki 3x i -3x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$3y-2y=24-21$$

Dodaj 3y do -2y.

$$y=24-21$$

Dodaj 24 do -21.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu 3x+2y=21. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x+2\times 3=21$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$3x+6=21$$

Odejmij 6 od obu stron równania.

$$3x=15$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=3$$