Rozwiąż x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$x+3y=6$$

Odejmij 3y od obu stron równania.

$$x=-3y+6$$

Podstaw -3y+6 do x w drugim równaniu: 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Pomnóż 5 przez -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Dodaj -15y do -2y.

$$-17y+30=13$$

Odejmij 30 od obu stron równania.

$$-17y=-17$$

Podziel obie strony przez -17.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu x=-3y+6. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-3+6$$

Dodaj 6 do -3.

$$x=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=3,y=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=3,y=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Aby czynniki x i 5x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 5 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Uprość.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Odejmij 5x-2y=13 od 5x+15y=30, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Dodaj 5x do -5x. Czynniki 5x i -5x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$15y+2y=30-13$$

Dodaj 15y do 2y.

$$17y=30-13$$

Dodaj 30 do -13.

$$17y=17$$

Podziel obie strony przez 17.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu 5x-2y=13. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$5x-2=13$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$5x=15$$

Podziel obie strony przez 5.

$$x=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=3,y=1$$