Rozwiąż x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Rozwiąż względem x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Pomnóż obie strony równania przez 6 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 2,3).

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 3 przez 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Połącz 6x i 9x, aby uzyskać 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -2 przez x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Połącz 15x i -2x, aby uzyskać 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Dodaj 3 i 4, aby uzyskać 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Odejmij 6x^{2} od obu stron.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Dodaj 12 do obu stron.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Dodaj 7 i 12, aby uzyskać 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -6x^{2}+ax+bx+19. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 13.

$$a=19 b=-6$$

Przepisz -6x^{2}+13x+19 jako \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Wyłącz przed nawias -x w pierwszej grupie i -1 w drugiej grupie.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 6x-19, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 6x-19=0 i -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Pomnóż obie strony równania przez 6 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 2,3).

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 3 przez 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Połącz 6x i 9x, aby uzyskać 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -2 przez x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Połącz 15x i -2x, aby uzyskać 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Dodaj 3 i 4, aby uzyskać 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Odejmij 6x^{2} od obu stron.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Dodaj 12 do obu stron.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Dodaj 7 i 12, aby uzyskać 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -6 do a, 13 do b i 19 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Podnieś do kwadratu 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Pomnóż -4 przez -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Pomnóż 24 przez 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Dodaj 169 do 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Pomnóż 2 przez -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-13±25}{-12} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -13 do 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Podziel 12 przez -12.

$$x=-1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-13±25}{-12} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 25 od -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Zredukuj ułamek \frac{-38}{-12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Pomnóż obie strony równania przez 6 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 2,3).

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 3 przez 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Połącz 6x i 9x, aby uzyskać 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -2 przez x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Połącz 15x i -2x, aby uzyskać 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Dodaj 3 i 4, aby uzyskać 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Odejmij 6x^{2} od obu stron.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Odejmij 7 od obu stron.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Odejmij 7 od -12, aby uzyskać -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Podziel obie strony przez -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Dzielenie przez -6 cofa mnożenie przez -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Podziel 13 przez -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Podziel -19 przez -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Podziel -\frac{13}{6}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{13}{12}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{13}{12} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{13}{12}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Dodaj \frac{19}{6} do \frac{169}{144}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Uprość.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Dodaj \frac{13}{12} do obu stron równania.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$