Rozwiąż t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Rozwiąż względem t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż t^{2}-24t-180 na czynniki przy użyciu formuły t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -24.

$$a=-30 b=6$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(t+a\right)\left(t+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: t-30=0 i t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: t^{2}+at+bt-180. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -24.

$$a=-30 b=6$$

Przepisz t^{2}-24t-180 jako \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

t w pierwszej i 6 w drugiej grupie.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik t-30, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: t-30=0 i t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$t^{2}-24t-180=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -24 do b i -180 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -24.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Dodaj 576 do 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Liczba przeciwna do -24 to 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie t=\frac{24±36}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 24 do 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Podziel 60 przez 2.

$$t=30$$

Teraz rozwiąż równanie t=\frac{24±36}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 36 od 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Podziel -12 przez 2.

$$t=-6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$t=30 t=-6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Dodaj 180 do obu stron równania.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Odjęcie -180 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Odejmij -180 od 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Podziel -24, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -12. Następnie Dodaj kwadrat -12 do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -12.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Dodaj 180 do 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Współczynnik t^{2}-24t+144. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Uprość.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Dodaj 12 do obu stron równania.

$$t=30 t=-6$$