Rozwiąż p^4-2p^2-8

$$p ^ { 4 } - 2 p ^ { 2 } - 8$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$p^{4}-2p^{2}-8=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -8, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$p=2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki p-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel p^{4}-2p^{2}-8 przez p-2, aby uzyskać p^{3}+2p^{2}+2p+4. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$p^{3}+2p^{2}+2p+4=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 4, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$p=-2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki p-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel p^{3}+2p^{2}+2p+4 przez p+2, aby uzyskać p^{2}+2. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$p^{2}+2=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 0 do b i 2 do c w formule kwadratowej.

$$p=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$p=\frac{0±\sqrt{-8}}{2}$$

p^{2}+2 wielomianowy nie jest przyczynnika, ponieważ nie ma żadnych wymiernych katalogów głównych.

$$p^{2}+2$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Oblicz

$$p^{4}-2p^{2}-8$$