Rozwiąż n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Rozwiąż względem n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż n^{2}-n-210 na czynniki przy użyciu formuły n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-15 b=14$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(n+a\right)\left(n+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: n-15=0 i n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: n^{2}+an+bn-210. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-15 b=14$$

Przepisz n^{2}-n-210 jako \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

n w pierwszej i 14 w drugiej grupie.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik n-15, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: n-15=0 i n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$n^{2}-n-210=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -1 do b i -210 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Dodaj 1 do 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{1±29}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Podziel 30 przez 2.

$$n=15$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{1±29}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 29 od 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Podziel -28 przez 2.

$$n=-14$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=15 n=-14$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Dodaj 210 do obu stron równania.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Odjęcie -210 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Odejmij -210 od 0.

$$n^{2}-n=210$$

Podziel -1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Dodaj 210 do \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Współczynnik n^{2}-n+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Uprość.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$n=15 n=-14$$