Rozwiąż n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Rozwiąż względem n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż n^{2}-11n-60 na czynniki przy użyciu formuły n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -11.

$$a=-15 b=4$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(n+a\right)\left(n+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: n-15=0 i n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: n^{2}+an+bn-60. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -11.

$$a=-15 b=4$$

Przepisz n^{2}-11n-60 jako \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Wyłącz przed nawias n w pierwszej grupie i 4 w drugiej grupie.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik n-15, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: n-15=0 i n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$n^{2}-11n-60=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -11 do b i -60 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Dodaj 121 do 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Liczba przeciwna do -11 to 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{11±19}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 11 do 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Podziel 30 przez 2.

$$n=15$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{11±19}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 19 od 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Podziel -8 przez 2.

$$n=-4$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=15 n=-4$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Dodaj 60 do obu stron równania.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Odjęcie -60 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Odejmij -60 od 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Podziel -11, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{11}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{11}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Dodaj 60 do \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Uprość.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Dodaj \frac{11}{2} do obu stron równania.

$$n=15 n=-4$$