Rozwiąż f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Kroki rozwiązania

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -20, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 2. Jeden z tych pierwiastków wynosi -\frac{5}{2}. Rozłóż wielomian na czynniki, dzieląc go przez 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Rozważ x^{3}+3x^{2}-4. Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -4, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Jeden z tych pierwiastków wynosi -2. Rozłóż wielomian na czynniki, dzieląc go przez x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Rozważ x^{2}+x-2. Umożliwia Rozdzielnik wyrażenia przez grupowanie. Najpierw należy zapisać wyrażenie jako x^{2}+ax+bx-2. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Jedyna taka para to rozwiązanie systemowe.

$$a=-1 b=2$$

Przepisz x^{2}+x-2 jako \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

x w pierwszej i 2 w drugiej grupie.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Przepisz całe wyrażenie rozłożone na czynniki.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Oblicz

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$