Rozwiąż a-4b=2;5a=3b-7

$$a - 4 b = 2 ; 5 a = 3 b - 7$$

Rozwiąż względem a, b

$$a=-2$$

$$b=-1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3b od obu stron.

$$5a-3b=-7$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla a, izolując a po lewej stronie znaku równości.

$$a-4b=2$$

Dodaj 4b do obu stron równania.

$$a=4b+2$$

Podstaw 4b+2 do a w drugim równaniu: 5a-3b=-7.

$$5\left(4b+2\right)-3b=-7$$

Pomnóż 5 przez 4b+2.

$$20b+10-3b=-7$$

Dodaj 20b do -3b.

$$17b+10=-7$$

Odejmij 10 od obu stron równania.

$$17b=-17$$

Podziel obie strony przez 17.

$$b=-1$$

Podstaw -1 do b w równaniu a=4b+2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem a.

$$a=4\left(-1\right)+2$$

Pomnóż 4 przez -1.

$$a=-4+2$$

Dodaj 2 do -4.

$$a=-2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$a=-2,b=-1$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3b od obu stron.

$$5a-3b=-7$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{-3-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{-3-\left(-4\times 5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\\-\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 2+\frac{4}{17}\left(-7\right)\\-\frac{5}{17}\times 2+\frac{1}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy a i b.

$$a=-2,b=-1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3b od obu stron.

$$5a-3b=-7$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Aby czynniki a i 5a były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 5 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$5a+5\left(-4\right)b=5\times 2,5a-3b=-7$$

Uprość.

$$5a-20b=10,5a-3b=-7$$

Odejmij 5a-3b=-7 od 5a-20b=10, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$5a-5a-20b+3b=10+7$$

Dodaj 5a do -5a. Czynniki 5a i -5a skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-20b+3b=10+7$$

Dodaj -20b do 3b.

$$-17b=10+7$$

Dodaj 10 do 7.

$$-17b=17$$

Podziel obie strony przez -17.

$$b=-1$$

Podstaw -1 do b w równaniu 5a-3b=-7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem a.

$$5a-3\left(-1\right)=-7$$

Pomnóż -3 przez -1.

$$5a+3=-7$$

Odejmij 3 od obu stron równania.

$$5a=-10$$

Podziel obie strony przez 5.

$$a=-2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$a=-2,b=-1$$