Rozwiąż a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -32, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$a=2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki a-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 przez a-2, aby uzyskać a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 16, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$a=2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki a-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 przez a-2, aby uzyskać a^{3}-2a^{2}+4a-8. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -8, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$a=2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki a-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel a^{3}-2a^{2}+4a-8 przez a-2, aby uzyskać a^{2}+4. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$a^{2}+4=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 0 do b i 4 do c w formule kwadratowej.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

a^{2}+4 wielomianowy nie jest przyczynnika, ponieważ nie ma żadnych wymiernych katalogów głównych.

$$a^{2}+4$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Oblicz

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$