Rozwiąż a^4-20a^2+64

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 64, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$a=2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki a-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel a^{4}-20a^{2}+64 przez a-2, aby uzyskać a^{3}+2a^{2}-16a-32. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -32, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$a=-2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki a-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel a^{3}+2a^{2}-16a-32 przez a+2, aby uzyskać a^{2}-16. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$a^{2}-16=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 0 do b i -16 do c w formule kwadratowej.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$a=\frac{0±8}{2}$$

Umożliwia rozwiązanie równania a^{2}-16=0, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$a=-4 a=4$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Oblicz

$$a^{4}-20a^{2}+64$$