Rozwiąż a^4+1-2a^2

$$a ^ { 4 } + 1 - 2 a ^ { 2 }$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(a-1\right)^{2}\left(a+1\right)^{2}$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$a^{4}-2a^{2}+1=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 1, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$a=1$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki a-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel a^{4}-2a^{2}+1 przez a-1, aby uzyskać a^{3}+a^{2}-a-1. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$a^{3}+a^{2}-a-1=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -1, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$a=1$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki a-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel a^{3}+a^{2}-a-1 przez a-1, aby uzyskać a^{2}+2a+1. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$a^{2}+2a+1=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 2 do b i 1 do c w formule kwadratowej.

$$a=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$a=\frac{-2±0}{2}$$

Rozwiązania są takie same.

$$a=-1$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(a-1\right)^{2}\left(a+1\right)^{2}$$

Oblicz

$$\left(a^{2}-1\right)^{2}$$