Rozwiąż {l}{x+2y=8}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+2y=8$$

Odejmij 2y od obu stron równania.

$$x=-2y+8$$

Podstaw -2y+8 do x w drugim równaniu: x-2y=2.

$$-2y+8-2y=2$$

Dodaj -2y do -2y.

$$-4y+8=2$$

Odejmij 8 od obu stron równania.

$$-4y=-6$$

Podziel obie strony przez -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Podstaw \frac{3}{2} do y w równaniu x=-2y+8. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Pomnóż -2 przez \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Dodaj 8 do -3.

$$x=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Odejmij x-2y=2 od x+2y=8, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Dodaj x do -x. Czynniki x i -x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$2y+2y=8-2$$

Dodaj 2y do 2y.

$$4y=8-2$$

Dodaj 8 do -2.

$$4y=6$$

Podziel obie strony przez 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Podstaw \frac{3}{2} do y w równaniu x-2y=2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Pomnóż -2 przez \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$x=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$