Rozwiąż 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 65 od obu stron.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 9x^{2}+ax+bx-65. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -24.

$$a=-39 b=15$$

Przepisz 9x^{2}-24x-65 jako \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

3x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-13, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-13=0 i 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$9x^{2}-24x=65$$

Odejmij 65 od obu stron równania.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Odjęcie 65 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 9 do a, -24 do b i -65 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Podnieś do kwadratu -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Pomnóż -4 przez 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Pomnóż -36 przez -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Dodaj 576 do 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Liczba przeciwna do -24 to 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Pomnóż 2 przez 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{24±54}{18} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 24 do 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{78}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{24±54}{18} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 54 od 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{-30}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Podziel obie strony przez 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Dzielenie przez 9 cofa mnożenie przez 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Zredukuj ułamek \frac{-24}{9} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Podziel -\frac{8}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{4}{3}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{4}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{4}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Dodaj \frac{65}{9} do \frac{16}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Współczynnik x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Uprość.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Dodaj \frac{4}{3} do obu stron równania.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$