Rozwiąż 9x^2-15x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 15 x + 4 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 9x^{2}+ax+bx+4. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-15 ab=9\times 4=36$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -15.

$$a=-12 b=-3$$

Przepisz 9x^{2}-15x+4 jako \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-3x+4\right)$$

3x w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$3x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-4, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-4=0 i 3x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$9x^{2}-15x+4=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 9 do a, -15 do b i 4 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Podnieś do kwadratu -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Pomnóż -4 przez 9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-36\times 4}}{2\times 9}$$

Pomnóż -36 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-144}}{2\times 9}$$

Dodaj 225 do -144.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{81}}{2\times 9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 81.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±9}{2\times 9}$$

Liczba przeciwna do -15 to 15.

$$x=\frac{15±9}{2\times 9}$$

Pomnóż 2 przez 9.

$$x=\frac{15±9}{18}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{15±9}{18} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 15 do 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{24}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{15±9}{18} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 9 od 15.

$$x=\frac{6}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{6}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-15x+4=0$$

Odejmij 4 od obu stron równania.

$$9x^{2}-15x+4-4=-4$$

Odjęcie 4 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$9x^{2}-15x=-4$$

Podziel obie strony przez 9.

$$\frac{9x^{2}-15x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Dzielenie przez 9 cofa mnożenie przez 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Zredukuj ułamek \frac{-15}{9} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Podziel -\frac{5}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{5}{6}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{5}{6} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{5}{6}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{36}$$

Dodaj -\frac{4}{9} do \frac{25}{36}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{4}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$$

Dodaj \frac{5}{6} do obu stron równania.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$