Rozwiąż 9x^2+42x+49=0

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 9x^{2}+ax+bx+49. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 42.

$$a=21 b=21$$

Przepisz 9x^{2}+42x+49 jako \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

3x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x+7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Przepisz jako kwadrat dwumianu.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

Aby znaleźć rozwiązanie równania, rozwiąż: 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 9 do a, 42 do b i 49 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Podnieś do kwadratu 42.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Pomnóż -4 przez 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Pomnóż -36 przez 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Dodaj 1764 do -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

Pomnóż 2 przez 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{-42}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Odejmij 49 od obu stron równania.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

Odjęcie 49 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

Podziel obie strony przez 9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

Dzielenie przez 9 cofa mnożenie przez 9.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Zredukuj ułamek \frac{42}{9} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

Podziel \frac{14}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{7}{3}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{7}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{7}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Dodaj -\frac{49}{9} do \frac{49}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

Współczynnik x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Uprość.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

Odejmij \frac{7}{3} od obu stron równania.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane. Rozwiązania są takie same.

$$x=-\frac{7}{3}$$