Rozwiąż 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Rozwiąż względem n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 3n^{2} od obu stron.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Połącz 9n^{2} i -3n^{2}, aby uzyskać 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 6n^{2}+an+bn+20. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -23.

$$a=-15 b=-8$$

Przepisz 6n^{2}-23n+20 jako \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Wyłącz przed nawias 3n w pierwszej grupie i -4 w drugiej grupie.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2n-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2n-5=0 i 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Odejmij 3n^{2} od obu stron.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Połącz 9n^{2} i -3n^{2}, aby uzyskać 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 6 do a, -23 do b i 20 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Podnieś do kwadratu -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Pomnóż -4 przez 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Pomnóż -24 przez 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Dodaj 529 do -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Liczba przeciwna do -23 to 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Pomnóż 2 przez 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{23±7}{12} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 23 do 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{30}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{23±7}{12} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 7 od 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{16}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Odejmij 3n^{2} od obu stron.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Połącz 9n^{2} i -3n^{2}, aby uzyskać 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Odejmij 20 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Podziel obie strony przez 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Dzielenie przez 6 cofa mnożenie przez 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{-20}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Podziel -\frac{23}{6}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{23}{12}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{23}{12} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{23}{12}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Dodaj -\frac{10}{3} do \frac{529}{144}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Uprość.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Dodaj \frac{23}{12} do obu stron równania.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$