Rozwiąż 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Kroki rozwiązania

Rozłóż wyrażenie na czynniki przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie wyrażenie jako 81x^{2}+ax+bx+100. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 180.

$$a=90 b=90$$

Przepisz 81x^{2}+180x+100 jako \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Wyłącz przed nawias 9x w pierwszej grupie i 10 w drugiej grupie.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 9x+10, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Przepisz jako kwadrat dwumianu.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Kroki z użyciem kwadratu dwumianu

Ten trójmian ma postać kwadratu trójmianu, być może pomnożonego przez wspólny czynnik. Kwadraty trójmianów można faktoryzować, znajdując pierwiastki kwadratowe początkowych i końcowych czynników.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Znajdź największy wspólny dzielnik współczynników.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Znajdź pierwiastek kwadratowy początkowego czynnika 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Znajdź pierwiastek kwadratowy końcowego czynnika 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Kwadrat trójmianu to kwadrat dwumianu, który jest sumą lub różnicą pierwiastków kwadratowych początkowego i końcowego czynnika, ze znakiem określonym przez znak środkowego czynnika kwadratu trójmianu.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Podnieś do kwadratu 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Pomnóż -4 przez 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Pomnóż -324 przez 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Dodaj 32400 do -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Pomnóż 2 przez 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Rozłóż oryginalne wyrażenie na czynniki przy użyciu wyrażenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Podstaw -\frac{10}{9} za x_{1} i -\frac{10}{9} za x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Uprość wszystkie wyrażenia w postaci p-\left(-q\right) do postaci p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Dodaj \frac{10}{9} do x, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Dodaj \frac{10}{9} do x, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Pomnóż \frac{9x+10}{9} przez \frac{9x+10}{9}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Pomnóż 9 przez 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Skróć największy wspólny dzielnik 81 w 81 i 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Oblicz

$$\left(9x+10\right)^{2}$$