Rozwiąż 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 8x^{2}+ax+bx-7. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 10.

$$a=-4 b=14$$

Przepisz 8x^{2}+10x-7 jako \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

4x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-1=0 i 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 8 do a, 10 do b i -7 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Podnieś do kwadratu 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Pomnóż -4 przez 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Pomnóż -32 przez -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Dodaj 100 do 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Pomnóż 2 przez 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-10±18}{16} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -10 do 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{8}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-10±18}{16} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 18 od -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{-28}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Dodaj 7 do obu stron równania.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Odjęcie -7 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Odejmij -7 od 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Podziel obie strony przez 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Dzielenie przez 8 cofa mnożenie przez 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Podziel \frac{5}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{5}{8}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{5}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{5}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Dodaj \frac{7}{8} do \frac{25}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Uprość.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Odejmij \frac{5}{8} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$