Rozwiąż 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Kroki rozwiązania

Rozłóż wyrażenie na czynniki przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie wyrażenie jako 8x^{2}+ax+bx-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -14.

$$a=-20 b=6$$

Przepisz 8x^{2}-14x-15 jako \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Wyłącz przed nawias 4x w pierwszej grupie i 3 w drugiej grupie.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Podnieś do kwadratu -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Pomnóż -4 przez 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Pomnóż -32 przez -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Dodaj 196 do 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Liczba przeciwna do -14 to 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Pomnóż 2 przez 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{14±26}{16} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 14 do 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{40}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{14±26}{16} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 26 od 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Rozłóż oryginalne wyrażenie na czynniki przy użyciu wyrażenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Podstaw \frac{5}{2} za x_{1} i -\frac{3}{4} za x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Uprość wszystkie wyrażenia w postaci p-\left(-q\right) do postaci p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Odejmij x od \frac{5}{2}, znajdując wspólny mianownik i odejmując liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Dodaj \frac{3}{4} do x, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Pomnóż \frac{2x-5}{2} przez \frac{4x+3}{4}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Skróć największy wspólny dzielnik 8 w 8 i 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Oblicz

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$