Rozwiąż 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Podziel obie strony przez 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 15x^{2}+ax+bx-2. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=-3 b=10$$

Przepisz 15x^{2}+7x-2 jako \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

3x w pierwszej i 2 w drugiej grupie.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 5x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 5x-1=0 i 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 75 do a, 35 do b i -10 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Podnieś do kwadratu 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Pomnóż -4 przez 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Pomnóż -300 przez -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Dodaj 1225 do 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Pomnóż 2 przez 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-35±65}{150} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -35 do 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Zredukuj ułamek \frac{30}{150} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-35±65}{150} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 65 od -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Zredukuj ułamek \frac{-100}{150} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Dodaj 10 do obu stron równania.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Odjęcie -10 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Odejmij -10 od 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Podziel obie strony przez 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Dzielenie przez 75 cofa mnożenie przez 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Zredukuj ułamek \frac{35}{75} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{75} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Podziel \frac{7}{15}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{7}{30}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{7}{30} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{7}{30}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Dodaj \frac{2}{15} do \frac{49}{900}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Uprość.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Odejmij \frac{7}{30} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$