Rozwiąż 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$7x-15y-2=0$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$7x-15y=2$$

Dodaj 15y do obu stron równania.

$$7x=15y+2$$

Podziel obie strony przez 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Pomnóż \frac{1}{7} przez 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Podstaw \frac{15y+2}{7} do x w drugim równaniu: x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Dodaj \frac{15y}{7} do 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Odejmij \frac{2}{7} od obu stron równania.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{29}{7}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=\frac{19}{29}$$

Podstaw \frac{19}{29} do y w równaniu x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Pomnóż \frac{15}{7} przez \frac{19}{29}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Dodaj \frac{2}{7} do \frac{285}{203}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{49}{29}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Aby czynniki 7x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Uprość.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Odejmij 7x+14y=21 od 7x-15y-2=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Dodaj 7x do -7x. Czynniki 7x i -7x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-15y-14y-2=-21$$

Dodaj -15y do -14y.

$$-29y-2=-21$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$-29y=-19$$

Podziel obie strony przez -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Podstaw \frac{19}{29} do y w równaniu x+2y=3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Pomnóż 2 przez \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Odejmij \frac{38}{29} od obu stron równania.

$$x=\frac{49}{29}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$