Rozwiąż 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 7 do a, 4 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Podnieś do kwadratu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Pomnóż -4 przez 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Dodaj 16 do -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Pomnóż 2 przez 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -4 do 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Podziel -4+2i\sqrt{3} przez 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2i\sqrt{3} od -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Podziel -4-2i\sqrt{3} przez 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Podziel obie strony przez 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Dzielenie przez 7 cofa mnożenie przez 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Podziel \frac{4}{7}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać \frac{2}{7}. Następnie dodaj kwadrat liczby \frac{2}{7} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{2}{7}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Dodaj -\frac{1}{7} do \frac{4}{49}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Uprość.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Odejmij \frac{2}{7} od obu stron równania.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$