Rozwiąż 64p^2-16p+1=0

$$64 p ^ { 2 } - 16 p + 1 = 0$$

Rozwiąż względem p

$$p=\frac{1}{8}=0,125$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 64p^{2}+ap+bp+1. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-16 ab=64\times 1=64$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -16.

$$a=-8 b=-8$$

Przepisz 64p^{2}-16p+1 jako \left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right).

$$\left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right)$$

8p w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$8p\left(8p-1\right)-\left(8p-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 8p-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(8p-1\right)\left(8p-1\right)$$

Przepisz jako kwadrat dwumianu.

$$\left(8p-1\right)^{2}$$

Aby znaleźć rozwiązanie równania, rozwiąż: 8p-1=0.

$$p=\frac{1}{8}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 64 do a, -16 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64}}{2\times 64}$$

Podnieś do kwadratu -16.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64}}{2\times 64}$$

Pomnóż -4 przez 64.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256}}{2\times 64}$$

Dodaj 256 do -256.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 0.

$$p=-\frac{-16}{2\times 64}$$

Liczba przeciwna do -16 to 16.

$$p=\frac{16}{2\times 64}$$

Pomnóż 2 przez 64.

$$p=\frac{16}{128}$$

Zredukuj ułamek \frac{16}{128} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$p=\frac{1}{8}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$64p^{2}-16p+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$64p^{2}-16p=-1$$

Podziel obie strony przez 64.

$$\frac{64p^{2}-16p}{64}=-\frac{1}{64}$$

Dzielenie przez 64 cofa mnożenie przez 64.

$$p^{2}+\left(-\frac{16}{64}\right)p=-\frac{1}{64}$$

Zredukuj ułamek \frac{-16}{64} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p=-\frac{1}{64}$$

Podziel -\frac{1}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{8}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{64}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=\frac{-1+1}{64}$$

Dodaj -\frac{1}{64} do \frac{1}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=0$$

Współczynnik p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}=0$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Uprość.

$$p-\frac{1}{8}=0 p-\frac{1}{8}=0$$

Dodaj \frac{1}{8} do obu stron równania.

$$p=\frac{1}{8} p=\frac{1}{8}$$

Równanie jest teraz rozwiązane. Rozwiązania są takie same.

$$p=\frac{1}{8}$$