Rozwiąż 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Rozwiąż względem x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Podziel obie strony przez 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -5,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 6x\left(x+5\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+5,6).

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Połącz 6x i 6x, aby uzyskać 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Odejmij 5x od obu stron.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Połącz 12x i -5x, aby uzyskać 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -x^{2}+ax+bx+30. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=10 b=-3$$

Przepisz -x^{2}+7x+30 jako \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

-x w pierwszej i -3 w drugiej grupie.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-10, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-10=0 i -x-3=0.

$$x=10 x=-3$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Podziel obie strony przez 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -5,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 6x\left(x+5\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+5,6).

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Połącz 6x i 6x, aby uzyskać 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Odejmij 5x od obu stron.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Połącz 12x i -5x, aby uzyskać 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 7 do b i 30 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 49 do 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±13}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -7 do 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Podziel 6 przez -2.

$$x=-3$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±13}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 13 od -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Podziel -20 przez -2.

$$x=10$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-3 x=10$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Podziel obie strony przez 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -5,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 6x\left(x+5\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+5,6).

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Połącz 6x i 6x, aby uzyskać 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Odejmij 5x od obu stron.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Połącz 12x i -5x, aby uzyskać 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Odejmij 30 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$7x-x^{2}=-30$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Podziel obie strony przez -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Dzielenie przez -1 cofa mnożenie przez -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Podziel 7 przez -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Podziel -30 przez -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Podziel -7, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{7}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{7}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{7}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Dodaj 30 do \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Współczynnik x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodaj \frac{7}{2} do obu stron równania.

$$x=10 x=-3$$