Rozwiąż 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 15 od obu stron.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 6x^{2}+ax+bx-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-10 b=9$$

Przepisz 6x^{2}-x-15 jako \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

2x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-5=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$6x^{2}-x=15$$

Odejmij 15 od obu stron równania.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Odjęcie 15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 6 do a, -1 do b i -15 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Pomnóż -4 przez 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Pomnóż -24 przez -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Dodaj 1 do 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Pomnóż 2 przez 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±19}{12} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{20}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±19}{12} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 19 od 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Podziel obie strony przez 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Dzielenie przez 6 cofa mnożenie przez 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{15}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Podziel -\frac{1}{6}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{12}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{12} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{12}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Dodaj \frac{5}{2} do \frac{1}{144}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Dodaj \frac{1}{12} do obu stron równania.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$