Rozwiąż 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 6x^{2}+ax+bx-5. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=-3 b=10$$

Przepisz 6x^{2}+7x-5 jako \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

3x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-1=0 i 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 6 do a, 7 do b i -5 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Podnieś do kwadratu 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Pomnóż -4 przez 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Pomnóż -24 przez -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Dodaj 49 do 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Pomnóż 2 przez 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±13}{12} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -7 do 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{6}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±13}{12} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 13 od -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{-20}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Dodaj 5 do obu stron równania.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Odjęcie -5 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Odejmij -5 od 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Podziel obie strony przez 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Dzielenie przez 6 cofa mnożenie przez 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Podziel \frac{7}{6}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{7}{12}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{7}{12} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{7}{12}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Dodaj \frac{5}{6} do \frac{49}{144}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Uprość.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Odejmij \frac{7}{12} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$