Rozwiąż 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$5x-2y=1$$

Dodaj 2y do obu stron równania.

$$5x=2y+1$$

Podziel obie strony przez 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Pomnóż \frac{1}{5} przez 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Podstaw \frac{2y+1}{5} do x w drugim równaniu: 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Pomnóż 3 przez \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Dodaj \frac{6y}{5} do 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Odejmij \frac{3}{5} od obu stron równania.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{31}{5}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Pomnóż \frac{2}{5} przez 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Dodaj \frac{1}{5} do \frac{4}{5}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=2$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Aby czynniki 5x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Uprość.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Odejmij 15x+25y=65 od 15x-6y=3, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Dodaj 15x do -15x. Czynniki 15x i -15x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-6y-25y=3-65$$

Dodaj -6y do -25y.

$$-31y=3-65$$

Dodaj 3 do -65.

$$-31y=-62$$

Podziel obie strony przez -31.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu 3x+5y=13. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x+5\times 2=13$$

Pomnóż 5 przez 2.

$$3x+10=13$$

Odejmij 10 od obu stron równania.

$$3x=3$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=2$$