Rozwiąż 5x^2-x-120=0

$$5 x ^ { 2 } - x - 120 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{24}{5} = -4\frac{4}{5} = -4,8$$

$$x=5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 5x^{2}+ax+bx-120. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=5\left(-120\right)=-600$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-25 b=24$$

Przepisz 5x^{2}-x-120 jako \left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right).

$$\left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right)$$

5x w pierwszej i 24 w drugiej grupie.

$$5x\left(x-5\right)+24\left(x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-5\right)\left(5x+24\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-5=0 i 5x+24=0.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$5x^{2}-x-120=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 5 do a, -1 do b i -120 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

Pomnóż -4 przez 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

Pomnóż -20 przez -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+2400}}{2\times 5}$$

Dodaj 1 do 2400.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{2401}}{2\times 5}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2401.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±49}{2\times 5}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±49}{2\times 5}$$

Pomnóż 2 przez 5.

$$x=\frac{1±49}{10}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±49}{10} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 49.

$$x=\frac{50}{10}$$

Podziel 50 przez 10.

$$x=5$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±49}{10} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 49 od 1.

$$x=-\frac{48}{10}$$

Zredukuj ułamek \frac{-48}{10} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{24}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-120=0$$

Dodaj 120 do obu stron równania.

$$5x^{2}-x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Odjęcie -120 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-120\right)$$

Odejmij -120 od 0.

$$5x^{2}-x=120$$

Podziel obie strony przez 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{120}{5}$$

Dzielenie przez 5 cofa mnożenie przez 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{120}{5}$$

Podziel 120 przez 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=24$$

Podziel -\frac{1}{5}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{10}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{10} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=24+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{10}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=24+\frac{1}{100}$$

Dodaj 24 do \frac{1}{100}.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2401}{100}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2401}{100}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{100}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{49}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{49}{10}$$

Dodaj \frac{1}{10} do obu stron równania.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$