Rozwiąż 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 5x^{2}+ax+bx-2184. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-105 b=104$$

Przepisz 5x^{2}-x-2184 jako \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

5x w pierwszej i 104 w drugiej grupie.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-21, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-21=0 i 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 5 do a, -1 do b i -2184 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnóż -4 przez 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnóż -20 przez -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Dodaj 1 do 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Pomnóż 2 przez 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±209}{10} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Podziel 210 przez 10.

$$x=21$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±209}{10} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 209 od 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Zredukuj ułamek \frac{-208}{10} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Dodaj 2184 do obu stron równania.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Odjęcie -2184 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Odejmij -2184 od 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Podziel obie strony przez 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Dzielenie przez 5 cofa mnożenie przez 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Podziel -\frac{1}{5}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{10}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{10} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{10}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Dodaj \frac{2184}{5} do \frac{1}{100}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Dodaj \frac{1}{10} do obu stron równania.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$