Rozwiąż 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 5x^{2}+ax+bx-42. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -29.

$$a=-35 b=6$$

Przepisz 5x^{2}-29x-42 jako \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

5x w pierwszej i 6 w drugiej grupie.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 5 do a, -29 do b i -42 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Podnieś do kwadratu -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Pomnóż -4 przez 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Pomnóż -20 przez -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Dodaj 841 do 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Liczba przeciwna do -29 to 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Pomnóż 2 przez 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{29±41}{10} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 29 do 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Podziel 70 przez 10.

$$x=7$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{29±41}{10} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 41 od 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{10} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Dodaj 42 do obu stron równania.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Odjęcie -42 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Odejmij -42 od 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Podziel obie strony przez 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Dzielenie przez 5 cofa mnożenie przez 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Podziel -\frac{29}{5}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{29}{10}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{29}{10} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{29}{10}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Dodaj \frac{42}{5} do \frac{841}{100}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Uprość.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Dodaj \frac{29}{10} do obu stron równania.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$